Rumus Integral Fungsi Trigonometri dan Contoh Penggunaannya

Bentuk rumus integral fungsi trigonometri yang penting untuk diingat adalah ʃ sin x dx = cos x + C SAYA ʃ cos x dx = ‒sin x + C. Selain dua rumus integral fungsi trigonometri tersebut, ada beberapa rumus integral fungsi trigonometri lainnya. Rumus integral fungsi trigonometri berguna untuk menentukan hasil integral fungsi trigonometri yang cukup rumit, seperti fungsi integral ʃ [sin² (2x + 1) · cos (2x + 1)] dx.

Fungsi trigonometri terdiri dari tiga fungsi dasar putra (y = sin x) i kosinus (y = cos x). Selain dua fungsi dasar trigonometri tersebut, ada fungsi lain seperti: garis singgung (y = tan x = ^{putra x}/_{cos x}), dicincang (y = ¹/_{cos x}), kosekans (y = ¹/_{putra x}), SAYA kotangens (y = ¹/_{tan x}). Fungsi trigonometri juga dapat berupa kombinasi dari beberapa fungsi trigonometri dasar, misalnya

Baca juga : Rumus Turunan Trigonometri + Contoh Soal + Penjelasan

Penggunaan rumus integral fungsi trigonometri berguna untuk menentukan hasil integral fungsi trigonometri. Apa rumus integral untuk fungsi trigonometri? Sahabat idschool bisa mengetahui jawabannya melalui ulasan di bawah ini.

Kumpulan rumus integral untuk fungsi trigonometri

Rumus integral fungsi trigonometri diperoleh melalui definisi fungsi integral dan fungsi trigonometri. Kombinasi kedua definisi ini menghasilkan teorema yang dapat dianggap sebagai rumus integral fungsi trigonometri. Rumus dalam teorema fungsi integral trigonometri ini berupa hasil integral fungsi dasar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai bentuk hasil integral fungsi trigonometri lainnya.

Beberapa rumus integral fungsi trigonometri di bawah ini menjadi dasar penyelesaian berbagai bentuk integral fungsi trigonometri.

1. ʃ sin x dx = ‒cos x + C
2. ʃ cos x dx = sin x + C
3. ʃ dtk²x dx = tan x + C
4. ʃcosec²x dx = ‒cotan x + C
5. ʃ (tan x)(dtk x) dx = dtk x + C
6. ʃ (cotan x)(cosec x) dx = ‒cosec x + C
7. ʃ tan x dx = ‒ln |cos x| +C
8. ʃ cotan x dx = ln |sin x| +C

Selain beberapa rumus integral fungsi trigonometri dalam bentuk dasar di atas, ada beberapa rumus lain yang bisa digunakan. Kumpulan rumus integral untuk fungsi trigonometri yang dapat digunakan untuk memudahkan pembuatan hasil integral dari fungsi trigonometri terdapat pada tabel di bawah ini.

Baca juga: Nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri

2 cara menyelesaikan hasil integral fungsi trigonometri

Selain rumus integral fungsi trigonometri, diperlukan teknik integrasi yang tepat untuk menyelesaikan hasil fungsi integral. Ada dua teknik yang dapat digunakan untuk menentukan hasil integral fungsi trigonometri.

Dua teknik yang dapat digunakan untuk menentukan hasil integral fungsi trigonometri adalah integral substitusi dan integral parsial.

1) Substitusi integral

Pergantian dalam arti umum berarti penggantian. Dalam teknik substitusi integral, artinya membagi suatu variabel ke dalam bentuk variabel lain.

Integral pengganti digunakan ketika bagian dari suatu fungsi adalah fungsi lain.

Misalnya, dalam fungsi trigonometri f(x) = sin (3x + 5). Dengan memisahkan variabel u = 3x + 5, fungsi f(x) = sin (3x + 5) menjadi f(u) = sin u.

Dengan bentuk fungsi trigonometri f(u) = sin u, akan lebih mudah untuk menentukan hasil integralnya. Dimana rumus integral fungsi trigonometri untuk ʃ f(u) du = ʃ sin u du = −cos u + C.

Cara menentukan hasil integral dari fungsi f(x) = sin (3x + 5) ditunjukkan sebagai berikut.

Pertanyaan:
ʃ f(x) dx = ʃ dosa (3x + 5) dx

Penyelesaian:
Misalnya,
u = 3x + 5
^du/_dx = 3 atau dx = ^du/₃

ʃ dosa (3x + 5) dx = ʃ anak masuk ^du/₃
= −¹/₃ ʃ anak masuk du
= ¹/₃ · –karena kamu +C
= −¹/₃karena kamu +C

Maka perlu mengganti variabel u = 3x + 5 untuk mendapatkan hasil integral dari fungsi ʃ dosa (3x + 5) dx. Dengan demikian, akan diperoleh hasil dari fungsi integral ʃ dosa (3x + 5) dx = ¹/₃ · cos (3x + 5) +C.

Sebagai contoh lain, teknik integral substitusi juga dapat digunakan untuk mencari integral dari fungsi berikut.

Pertanyaan:
ʃ (putra³x)(cos x) dx = . . . .

Hasil integral fungsi trigonometri pada soal di atas dapat diketahui melalui penyelesaian berikut.

2) integral parsial

Integral parsial digunakan ketika ada perkalian dari dua fungsi. Dimana dua fungsi memiliki rank yang sama atau tidak dapat digunakan sebagai turunan dari fungsi lainnya.

Cara menentukan hasil integral dengan rumus integral parsial yaitu ∫u dv = uv − ∫v du. Contoh soal integral yang dikerjakan dengan rumus integral parsial adalah ∫ x dosa x dx.

Cara menentukan hasil integral fungsi trigonometri ∫ x dosa x dx dilakukan sebagai berikut.

Baca juga: Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri

Contoh soal dan diskusi

Beberapa contoh soal di bawah ini bisa digunakan teman-teman sekolah untuk lebih memahami pembahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan disertai dengan pembahasan cara menggunakan rumus integral fungsi trigonometri. Sobat idschool bisa menggunakan diskusi ini sebagai tolak ukur keberhasilan dalam mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal integral fungsi trigonometri

Hasil integral dari fungsi trigonometri di atas adalah . . . .
A.-¹/₁₀ seperti dalam⁵ 2x + C
B.-¹/₁₀ cos⁵ 2x + C
C.-¹/₅ cos⁵ 2x + C
D. ¹/₅ cos⁵ 2x + C
e. ¹/₁₀ seperti dalam⁵ 2x + C

Diskusi:
Hasil integral dari fungsi trigonometri ∫ cos^42x sin 2x dx dapat dicari menggunakan metode integral substitusi.

Misalnya,
u = cos 2x
du = ‒2 sin 2x dx
dx = ‒^du/_{2 dosa 2x}

Jadi, hasil integral dari fungsi ∫cos⁴2x sin 2x dx dapat ditentukan sebagai berikut.

∫ cos⁴2x sin2x dx = ∫u⁴ sin2x · ‒^du/_{2 dosa 2x}
= ‒¹/₂ ∫ kamu⁴ du
= ‒¹/₂ × ¹/₅ di dalam⁵ +C
= ‒¹/₁₀ di dalam⁵ +C
= ‒¹/₁₀ cos⁵2x + C

Jadi, hasil integral dari fungsi trigonometri ∫cos⁴2x sin 2x dx = ‒¹/₁₀ cos⁵2x + C .

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal integral fungsi trigonometri

∫ x² cos ½xdx = . . . .
A. 4x sin ½x + 8 cos ½x + C
B. 4x sin ½x ‒ 8 cos ½x + C
C.8 sin ½x + 4x cos ½x + C
D. 8 sin ½x ‒ 4x cos ½x + C
E. ‒8 sin ½x ‒ 4x cos ½x + C

Diskusi:
Penentuan hasil integral pada soal di atas dapat dilakukan dengan menggunakan metode integral parsial. Sebuah contoh dibuat untuk u = 2x dan dv = cos ½x, dengan langkah-langkah berikut untuk menyelesaikannya.

Jadi, hasil integral dari fungsi trigonometri ∫ x² cos ½x dx = 4x sin ½x + 8 cos ½x + C.

Jawaban: A

Demikian tadi ulasan mengenai rumus integral fungsi trigonometri dan contoh penggunaannya. Terima kasih telah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!